優活MATH教室

今天來講一個機率的問題
是一個有名的機率問題

題目的情境是美國一個遊戲節目，
而問題的名字來自於節目主持人蒙提霍爾（Monty Hall）

題目的敘述如下：
「參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，
  選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車，
  而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。
  當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，
  節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。
  主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。
  問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機率？」

最早的時候，我認為答案是「不會」，
很多數學人都說「會」，
我都很能接受他們的解釋，
不過一直都沒有抹滅掉我原本的想法，
簡單的說，我並沒有想通我錯在哪裡。

我的之前想法是：
已知其中一扇門開出了山羊，那其他兩扇門開出汽車的機率都是1/2
所以換與不換都不影響中獎機率。

最能被我接受的答案是：
參賽者有可能挑到汽車、山羊一、山羊二，而且有相等的可能性，
1.參賽者挑山羊一，主持人開山羊二。不換得羊；換得車
2.參賽者挑山羊二，主持人開山羊一。不換得羊；換得車
3.參賽者挑到汽車，主持人開兩頭山羊的任何一頭。不換得車；換得羊
不換的話，得車的機率是1/3；
換的話，得車的機率是2/3

答案當然是換了會增加得車的機率，
我只是想不通，我之前的想法跟這種講法哪裡有出入。

直到看到將題目中將主持人行為敘述得更明確、不含糊的版本，
我才發現盲點所在。

明確且條理的敘述如下：
1.參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道哪扇門是汽車。
2.主持人知道每扇門後面有什麼，並且提供換門的機會。
3.主持人永遠都會挑一扇有山羊的門開啟
  (1)如果參賽者挑到一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。
  (2)如果參賽者挑到一扇有汽車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。
4.參賽者會被問是否保持他原來的選擇，還是轉而選擇剩下的那一扇門。

看完敘述後我想通了，
我原來應該對主持人的行為及遊戲規則非常瞭解，
我被問這個問題的時候，就該是參賽者（或是幫參賽者下決定的決策者）

我之前太晚進入遊戲了 XD
像是一個遲到的旁觀者，看到最後參賽者在傷腦筋的時候，
告訴參賽者：「其中一扇門開了山羊，那另外兩扇各1/2啊，笨蛋！」

我已知的部分不只是「其中一扇門開出山羊」，
而且應該還有「主持人行為」及「遊戲規則」。

想通盲點之後，
就能想出各種解釋方法啦 :D
例如：
你沒中獎就相當於主持人中獎，
你只能選一扇門，你中獎機率1/3，
主持人有你選剩的兩扇門，主持人中獎機率2/3
現在主持人給你一個機會跟他換（只是先幫你把沒中的那扇門開出來）
你換不換？

好，就是這樣～下課！

啊～對了！
想知道蒙提霍爾本人對這個問題的解答嗎？

蒙提霍爾：「如果你上過我的節目的話，你會覺得遊戲很快--選定之後就沒有交換的機會。」

因為實際上在節目中，
並不提供換門的機會，開山羊只是會了增加刺激感 XD