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高一數學基本能力題

[立志中學國中部數學科教師專業學習社群]

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為了讓老師們熟悉Gmail的概念與使用，所以就撰寫了這篇文章。

看完後，如果有其他問題，歡迎再提出。

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高國中部數學科本學期週考日期：

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立志中學高國中部數學科師資陣容

羅禎祥  老師  教學部落格 

陳彥霖  老師  教學部落格 

林佑勳  老師  教學部落格 

任哲宏  老師  教學部落格

牛頓（1642～1727英國）十八世紀以來，被公認是第一個而且是最偉大的近代科學家。

牛頓的科研成果改變人類對宇宙的看法。大家一向認為他是一個理性主義者，教導人們思考時要作冷靜而不帶主觀色彩的推理。牛頓從小體弱多病，親戚多擔心他無法長大成人。十二歲的時候進入格藍安的公立學校讀書。起初牛頓只喜歡數學，其它功課並不好，老師都以為他是低能兒。不過後來他發憤讀書，終於在班上名列前茅。

牛頓是一個奇妙的人：健忘專心，馬虎精細，他都兼備。他對生活上的瑣事，常常忘記、馬虎。他的衣服隨隨便便，從來不知道甚麼叫做「時髦」。他的襪子常常拖到腳後跟，他也置之不理。有一次，他牽著馬上山，一邊走，一邊考慮著科學研究中的問題。到了山頂，他想起來要騎馬了，一看，不知何時鬆了手，馬早就不知跑到哪裏去了。

十五歲時牛頓輟學在家幫助母親經營農場。但是他對農事毫無興趣，卻熱衷於設計各種機械和研究數學，最後他的母親明智地決定將他送回學校。1661年牛頓以"減費生"進入劍橋大學就讀，他比一般同學都大四、五歲，在大學時期，他遇到一個叫巴羅的好老師悉心栽培，這遲熟的牛頓茅塞頓開，學業進步很大，經常提出一些自然和數學方面的問題，使巴羅又驚又喜。不久他的創造天才開始顯露出來。1665年，牛頓才二十二歲，就發現了二項式定理。

同年，因為倫敦發生鼠疫，學校停課，牛頓回到烏爾索浦的老家，這時他腦子裡已裝了許多的天文、數學知識，他大部分的時間用在閉門讀書上，或在田間，樹下仰頭作誰也想不到的冥想。好在離他家不遠住著一位他青梅竹馬的女友，他倆常一起說話，倒也不算寂寞。可是他對於科學實在是太癡了，以致於怠慢和惹腦了愛他的姑娘，這是牛頓的第一次戀愛，也是他一生最後一次戀愛。

費馬（1601-1665 Fermat, Pierre de）出生於法國南部。

小時候他並沒有上學，而是父親特別請家庭教師來教他。費馬學習十分努力，最喜歡的功課是數學。雖然喜歡數學，但考大學時，遵從父親的建議，選擇了法律。畢業後，成了一名律師。他使用空閒時間來研究數學。

費馬是一位業餘的數學家，但由於他的努力，豐富了數學領域，以致被稱作十七世紀最偉大的法國數學家。其重要貢獻為：解析幾何、微積分、數論和機率論。

費馬雖然是一名律師，但他的嗜好則是想辦法整理古希臘著作，並從這些埋藏己久的偉大發現中，尋找美麗的新定理。他曾說：「 我發現過許多絕美的定理。」他同時把這些定理寫在某些古書拉丁譯本的書頁的空白處。在費馬珍藏的古籍拉丁譯本中，有一本名為<算術>的書，作者是希臘數學家--丟番圖。在1637年，費馬在這本書中的畢氏定理論證附近寫下了：

當n>2時，不存在正整數X、Y、Z、n，使得Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ。

「數學家就像情人...給一個數學家最小的原理，他就會從中引出你必須承認的結果，並且從這個又引出另外一個。」─弗坦內里(Fontenelle)。

十七世紀出生於法國的笛卡兒(1596-1650)是第一個發現直角坐標的人，這對後人的貢獻相當大，可惜一生窮困潦倒。一直到52歲，仍一直默默無名。當時法國正流行黑死病，笛卡兒不得不逃離，流浪到瑞典當乞丐。

某天，他在市場乞討時，有一群少女經過，其中一名少女發現他的口音不像是瑞典人，她對笛卡兒非常好奇，於是上前問他：「你從哪來的啊?」笛卡兒回答：「法國。」少女又問「你是做什麼的啊?」他回答「我是數學家。」這名少女叫克麗絲汀，18歲，是位公主，她和其它女孩不同，克麗絲汀不喜歡文學，而是熱衷數學。當她聽到笛卡兒說明身份後，感到相當大的興趣，於是把笛卡兒邀請回宮。

笛卡兒就成了她的數學老師，將一生的研究傾囊相授，而克麗絲汀的數學也日益進步，直角坐標當時也只有笛卡兒這對師生才懂。後來，他們之間產生了不一樣的情愫，發生喧騰一時的師生戀。然而這件事傳到國王耳中，讓國王相當憤怒！下令將笛卡兒處死，克麗絲汀以自縊相逼，國王害怕寶貝女兒真的會想不開，於是...將笛卡兒放逐回法國，也將克麗絲汀軟禁。

笛卡兒一回到法國沒多久就染上黑死病，躺在床上奄奄一息。笛卡兒不斷地寫信到瑞典給克麗絲汀，都被國王攔截沒收。克麗絲汀也就不曾收到過笛卡兒寫來的信...就在笛卡兒快要死去的時候，他寄出了第13封信，當他寄出去沒多久後就氣絕身亡。 這封信的內容只有短短的一行...r = a(1-sinθ)。國王攔截到這封信後拆開看，發現並不是一如往常的情話。於是找來城裡所有科學家來研究，但都沒有任何人能夠解開。國王心想...反正笛卡兒就快要死了，而且公主被軟禁時都悶悶不樂，便把信交給克麗絲汀。

劉徽（約公元225～295年）中國魏晉時期的數學家，山東人。

他的成就中最突出的是發明了運用「割圓術」計算圓周率的科學方法。用正多邊形逼近圓面積的極限思想，從圓內接正12邊形、24邊形48邊形，直至3072邊形，求得圓周率，這個較準確的近似值比國外最早的印度人推出的值超前200餘年。公元263年他註解「九章算術」，並撰寫了「海島算經」，全面證明了「九章算術」中的公式、解法，並對重要的概念做了嚴格的定義，還指出其中的某些錯誤，成為我國古典數學理論的主要奠基人。

「九章算術」約成書於公元50～100年間。它全面系統地總結了先秦到東漢初年的數學成就，是歷代人們的數學結晶。

「九章算術」共收集246個問題的解法，按類型分做九章：

• 方田（各種面積問題，含分數四則運算）

巴斯卡(Pascal1623一1662) 是法國著名的科學家，水壓機原理就是他發現的。他的著名的Toricelli實驗，證明了空氣是有壓力，轟動法國一時。那時他才二十三歲。

在物理上他奠立了流體靜力學的基礎理論。在數學上他的貢獻也是不少。父親是一個數學愛好者，常和一些懂數學的人交往，可是他認為數學對小孩子是有害且會傷腦筋，因此孩子應該在十五、六歲時才學習數學。

這之前就學一些拉丁文或希臘文。因此在巴斯卡小時後，父親從來不教他學習數學．只是教他一些語文和歷史。而且巴斯卡的身體也不太強壯，父親更不敢讓他接觸到數學。巴斯卡在十二歲的時侯．偶然看到父親在讀幾何書。他好奇的問幾何學是什麼？父親為了不想讓他知道太多，只是大約講幾何研究的是圖形如三角形、正方形和圓的性質，用處就是教人畫圖時能作出正確美觀的圖。父親很小心的把自己的數學書都收藏好，就怕被巴斯卡拿去翻看。

可是巴斯卡卻產生興趣，他根據父親講的一些幾何簡單知識，自己獨立對幾何學研究。當他將發現:「任何三角形的三個內角和是一百八十度」的結果告訴父親時，父親是驚喜交集，竟然哭了起來。父親於是搬出了歐幾里得的(幾何原本)，巴斯卡開始接觸到數學書籍。

他的數學才能顯得很早熟．在十三歲的時候就發現了所謂「巴斯卡三角形」。還不到十六歲他發現了射影幾何學的一一個基本原理:「圓錐曲線裏的內接六邊形對邊的交點是共線」。在他十七歲時利用這定理寫出將近四百多個關於圓錐曲線定理的論文。在十九歲時，他為了減經父親計算稅務的麻煩，發明了世界上最早的計算機。

埃爾米特(Charles Hermite1822～1901法國)是十九世紀最偉大的代數幾何學家，但是他大學入學考試重考了五次，每次失敗的原因都是數學考不好。他的大學讀到幾乎畢不了業，每次考不好都是為了數學那一科。他大學畢業後考不上任何研究所， 因為考不好的科目還是── 數學。

數學是他一生的至愛，但是數學考試是他一生的惡夢。不過這無法改變他的偉大：課本上「共軛矩陣」是他先提出來的，人類一千多年來解不出「五次方程式的通解」，是他先解出來的。自然對數的「超越數性質」，全世界，他是第一個證明出來的人。他的一生證明「一個不會考試的人，仍然能有勝出的人生」。

         埃爾米特從小就是個問題學生，上課時老愛找老師辯論，尤其是一些基本的問題。他尤其痛恨考試；後來寫道：「學問像大海，考試像魚鉤，老師老要把魚掛 在魚鉤上，教魚怎麼能在大海中學會自由、平衡的游泳？」 老師看他考不好，就用木條打他的腳，他恨死了；後來寫道：「達到教育的目的是用頭腦，又不是用腳，打腳有什麼用？打腳可以使人頭腦更聰明嗎？」他的數學考得特別差，主要原因是他的數學特別好；他講的話更讓數學老師抓狂，他說：「數學課本是一灘臭水，是一堆垃圾。數學成績好的人，都是一些二流頭腦的人，因為他們只懂搬垃圾。」他自命為一流的科學狂人。    但考試讓他幾乎要放棄時，遇到一位數學老師李察(Richard)。李察老師對埃爾米特說：「我相信你是自拉格朗日 (Lagrange)以來的第二位數學天才。」拉格朗日被稱為數學界的貝多芬，他所作的求根近似解被譽為「數學之詩」。但是埃爾米特光有天份不夠，李察老師說：「你需要有上帝的恩典，與完成學業的堅持，才不會被你認為垃圾的傳統教育犧牲掉。」因此他一次又一次地落榜，卻仍繼續堅持應試。

     埃爾米特進技術學院唸了一年以後，法國教育當局忽然下一道命令：「肢障 者不得進入工科學系」，埃爾米特只好轉到文學系。文學系裡的數學已經容易很多了，結果他的數學還是不及格。有趣的是，他同時在法國的數學研究期刊「純數學與應用數學雜誌」發表「五次方方程式解的思索」，震驚了數學界。

     在人類歷史上，第三世紀的希臘數學家就發現一次方程與二次方程的解法，之後，多少一流數學家埋首苦思四次方程以上到n次方的解法，始終不得其 解。沒想到三百年後，一個文學系的學生，一個數學常考不及格的學生，竟然提出正確的解法。埃爾米特知道自己已經「對數學的開創性研究中毒很深，熱愛得無法自拔」，     能夠使埃爾米特不憤世嫉俗、坦然前行的動力是什麼？ 有三個重要的因素，一是妻子的瞭解與同心，她無怨無悔地跟隨這個不會考試的天才丈夫，一年一年地走下去。二是有人真正地讚賞他，不因他外表的殘廢與沒有耀人的學位而輕視他。欣賞他的人後來也都在數學界享有盛名──包括研究無窮級數收斂、發散與微分方程式而著名的柯西(Cauchy)，來自真正行家的惺惺相惜，比考試高分的一點虛偽榮耀，更能支助一個失敗者走較遠的路。三是埃爾米特的信仰。埃爾米特在四十三歲時染患一場大病，柯西來看他，並且把福音傳給他。信仰給他另一種價值與滿足。

畢達哥拉斯（Pythagoras，572-492 B.C.希臘）是希臘的哲學家和數學家，大約是中國孔子生活的時代。

傳說有一次畢達哥拉斯看到一個勤勉的窮人，他想教他學習幾何，因此對此人建議：如果這人能學懂一個定理，那麼他就給他一塊錢幣。這個人看在錢份上就和他學幾何了，可是過了一個時期，這學生對幾何卻產生了非常大的興趣，反而要求畢達哥拉斯教快一些，並且建議：如果老師多教一個定理，他就給一個錢幣。不需要多少時間，畢達哥拉斯把他以前給那學生的錢全部收回了。

後來和他的信徒們組成了一個所謂「畢達哥拉斯學派」的政治和宗教團體。入會時需宣誓不得將數學發現公諸於世，甚至在畢氏死後，有成員因公開正12面體可由12個正五邊形構成的發現而被迫浸水致死。他容許婦女（當然是貴放婦女而不是奴隸女婢）來聽課。他認為婦女也是和男人一樣在求知的權利上平等，因此他的學派中就有十多名女學者。這是其他學派所無的現象。但畢式學派有一些怪怪的教條，例如：禁食豆子、東西落下了，不要撿起來。不要去碰白公雞…

「在一個直角三角形中，兩股的平方和等於斜邊的平方。」--畢式定理，中國人（周朝的商高）和巴比倫人早在畢氏提出前一千年就在使用，但一般人仍將定理歸屬於畢達哥拉斯，是因為他證明了定理的普遍性。對畢達哥拉斯而言，數學之美在於有理數能解釋一切自然現象。這種的哲學觀使畢氏對無理數的存在視而不見，甚至導致一個學生被他處死。

這位學生名叫希帕索斯，出於無聊，他試圖找出根號2(以1為股的等腰直角三角形之斜邊)的等價分數，最終他認識到根本不存在這個分數，也就是說根號2是無理數，希帕索斯對這發現，喜出望外，但是他的老師畢氏卻不悅。